Да. В соответствии с ч. 2.1 ст. 14 ФЗ «О гражданстве», лица, признанные носителями русского языка и постоянно проживающие на территории России, имеют право на получение гражданства в упрощённом порядке без соблюдения требований к сроку проживания.
Для того, чтобы лицо признали носителем русского языка, нужно, в соответствии со ст. 33.1 ФЗ «О гражданстве» пройти собеседование со специальной комиссией. Такая комиссия формируется в каждом субъекте РФ при региональном МВД.
Для прохождения собеседования необходимо подать в комиссию заявление (бланк которого можно получить в территориальном подразделении МВД по вопросам миграции) и дождаться её заседания, в ходе которого испытуемому задаются вопросы, позволяющие выяснить степень владения русским языком, и могут быть продемонстрированы медиа-материалы. По итогам заседания принимается решение о признании лица носителем русского языка. В случае, если принято обратное решение, оно может быть обжаловано в вышестоящую комиссию при МВД, вышестоящему должностному лицу органа МВД или в суд.
Упрощённый порядок на данном основании возможен при соблюдении условий:
принятие лицом обязанности соблюдать Конституцию и законодательство РФ,
имеют законный источник средств к существованию,
отказ от гражданства иностранного государства, за исключением случаев, когда такой отказ невозможен или отказ не требуется, согласно международному договору РФ.

Да, может. В соответствии с ч. 3 ст. 1 ФЗ «О государственной политике Российской Федерации в отношении соотечественников за рубежом», соотечественниками также признаются лица, состоявшие в гражданстве СССР, проживающие в государствах, входивших в состав СССР, получившие гражданство этих государств или ставшие лицами без гражданства. Соответственно, если гражданин Украины имел ранее гражданство СССР, то он считается соотечественником и вправе участвовать в указанной программе.
Ч. 7 ст. 14 ФЗ «О гражданстве» для участников Программы установлен упрощённый порядок принятия в гражданство Российской Федерации. Если они имеют регистрацию по месту жительства на территории избранного ими для проживания субъекта России, то приём в гражданство возможен без соблюдения требований к сроку проживания на территории России, наличию законного источника средств к существованию и владению русским языком.

Нет, если Вы являетесь гражданином России от рождения – подобное запрещено ч. 3 ст. 6 Конституции. Если же Вы приняты в гражданство России или восстановлены в нём, а также приобрели его в случае изменения государственной границы, то решение о приёме Вас в гражданство может быть отменено в соответствии со ст. 22 Федерального закона «О гражданстве», если оно принято на основании представленных заявителем подложных документов или заведомо ложных сведений, либо в случае Вашего отказа от принесения Присяги. Установление факта предоставления подложных фактом или заведомо ложных сведений производится в судебном порядке.
При этом установленный вступившим в законную силу приговором суда факт совершения хотя бы одного из преступлений, предусмотренных статьями 205, 205.1, частью второй статьи 205.2, статьями 205.3 - 205.5, 206, 208, частью четвертой статьи 211, статьями 281, 282.1 - 282.3 и 361 Уголовного кодекса Российской Федерации, либо хотя бы одного из преступлений, предусмотренных статьями 277 - 279 и 360 Уголовного кодекса Российской Федерации, если их совершение сопряжено с осуществлением террористической деятельности, приравнивается к установлению судом факта сообщения заведомо ложных сведений в отношении обязательства соблюдать Конституцию Российской Федерации и законодательство Российской Федерации.

Да, нужно.
В соответствии с Федеральным законом «О гражданстве» необходимо письменно уведомлять органы власти о наличии второго гражданства или документа на право постоянного проживания в иностранном государстве (например, вида на жительство). Такое уведомление подаётся в течение шестидесяти дней с момента получения второго гражданства или документа в местное подразделение по вопросам миграции Министерства внутренних дел по месту жительства на районном либо региональном уровне (в случае отсутствия места жительства – по месту пребывания, а в случае отсутствия и того, и другого – по месту фактического нахождения). Если такое уведомление не подано в указанный срок в силу нахождения за рубежом, то его необходимо подать в течение тридцати дней со дня въезда в Россию. Эти же правила касаются и несовершеннолетних граждан – уведомление в таком случае подаётся их законным представителем.
Формы уведомлений можно найти здесь: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_303732/
Подать уведомление возможно лично, через представителя, либо просто направить по почте в уполномоченный орган.
К уведомлению прилагается копия паспорта иностранного государства либо иного документа, подтверждающего наличие иного гражданства, и (или) документа на право постоянного проживания в иностранном государстве. 
В случае подачи уведомления через представителя к нему, кроме указанных копий, прилагаются:
1) нотариально удостоверенная копия доверенности и копия паспорта уполномоченного представителя (если уполномоченный представитель является гражданином Российской Федерации)
2) либо копия документа, удостоверяющего личность иностранного гражданина на территории Российской Федерации и признаваемого Российской Федерацией в этом качестве (если уполномоченный представитель является иностранным гражданином).
В случае подачи уведомления представителем законного представителя гражданина, не достигшего возраста восемнадцати лет либо ограниченного в дееспособности, к уведомлению, кроме копий указанного свидетельства либо акта прилагаются:
1) нотариально удостоверенная копия доверенности на право подать такое уведомление, и копия паспорта уполномоченного представителя (если уполномоченный представитель является гражданином Российской Федерации)
2) копия документа, удостоверяющего личность иностранного гражданина на территории Российской Федерации и признаваемого Российской Федерацией в этом качестве (если уполномоченный представитель является иностранным гражданином).
В случае подачи уведомления в отношении гражданина Российской Федерации, не достигшего возраста четырнадцати лет, дополнительно по выбору законного представителя предъявляется один из документов, подтверждающих наличие у несовершеннолетнего гражданина гражданства Российской Федерации, копия которого прилагается к уведомлению, например:
1) имеющийся у ребенка заграничный, дипломатический или служебный паспорт гражданина Российской Федерации, удостоверяющий его личность за пределами Российской Федерации;
2) паспорт родителя, в том числе заграничный, дипломатический или служебный, в который внесены сведения о ребенке;
3) свидетельство о рождении, в которое внесены сведения:

• o гражданстве Российской Федерации обоих родителей или единственного родителя (независимо от места рождения ребенка);
• o гражданстве Российской Федерации одного из родителей, если другой родитель является лицом без гражданства или признан безвестно отсутствующим либо если место его нахождения неизвестно (независимо от места рождения ребенка);
• o гражданстве Российской Федерации одного из родителей и гражданстве иностранного государства другого родителя (если свидетельство о рождении выдано на территории Российской Федерации);

4) отметка на переводе на русский язык документа, выданного компетентным органом иностранного государства в удостоверение акта регистрации рождения ребенка, проставленная российским миграционным органом или его территориальным подразделением, консульским учреждением Российской Федерации или консульским отделом дипломатического представительства Российской Федерации;
5) отметка на свидетельстве о рождении, выданном уполномоченным органом Российской Федерации, российским миграционным органом или его территориальным подразделением, консульским учреждением Российской Федерации или консульским отделом дипломатического представительства Российской Федерации;
6) вкладыш к документу, выданный компетентным органом иностранного государства в удостоверение акта регистрации рождения ребенка, либо к свидетельству о рождении, подтверждающий наличие гражданства Российской Федерации, выданный в установленном порядке до 6 февраля 2007 г.